Wie berechne ich eine Wahrscheinlichkeit?
- 1Wählen Sie, was Sie berechnen möchten: ein Ereignis, zwei Ereignisse, Kombinationen, Binomial- oder Normalverteilung.
- 2Geben Sie Ihre Zahlen ein – Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl (0,25), Prozent (25 %) oder Bruch (1/4).
- 3Lesen Sie das Ergebnis als Dezimalzahl und in Prozent ab, mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten darunter.
- 4Sehen Sie sich das Diagramm und den Rechenweg Schritt für Schritt an, der Ihre eigenen Zahlen verwendet.
Was sind die wichtigsten Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung?
- 01P(A) = günstig ÷ gesamt · P(nicht A) = 1 − P(A)
- 02P(A oder B) = P(A) + P(B) − P(A und B) · P(A | B) = P(A und B) ÷ P(B)
- 03nCr = n! ÷ (r!(n − r)!) · nPr = n! ÷ (n − r)!
- 04Binomial: P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, Erwartungswert np, SD √(np(1 − p))
- 05Normal: z = (x − μ) ÷ σ, P(X < x) = Φ(z)
Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl von 0 (unmöglich) bis 1 (sicher). Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen ist sie die Anzahl der gewünschten Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen: eine Sechs bei sechs Seiten ist 1/6 ≈ 0,1667. Die Wahrscheinlichkeit, dass etwas bei mehreren unabhängigen Versuchen mindestens einmal eintritt, ist 1 minus die Wahrscheinlichkeit, dass es nie eintritt: mindestens eine Sechs in vier Würfen ist 1 − (5/6)⁴ ≈ 0,518.
Bei zwei Ereignissen bedeutet „und“, dass beide eintreten, und „oder“, dass mindestens eines eintritt. Sind A und B unabhängig, gilt P(A und B) = P(A) × P(B); sind sie unvereinbar, gilt P(A und B) = 0. Der Additionssatz zieht die Überschneidung ab, damit sie nicht doppelt gezählt wird. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A | B) ist die Wahrscheinlichkeit für A, wenn man weiß, dass B eingetreten ist.
Kombinationen zählen Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt, Permutationen solche, bei denen sie eine Rolle spielt. Die Ergebnisse wachsen sehr schnell – 52C5 sind 2.598.960 Pokerhände –, daher rechnet dieser Rechner sie exakt mit ganzzahliger Arithmetik, Ziffer für Ziffer, statt zu runden.
Die Binomialverteilung zählt Treffer in n unabhängigen Versuchen mit jeweils gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p; die Normalverteilung ist die Glockenkurve. Die Wahrscheinlichkeiten werden hier auf etwa 15 signifikante Stellen berechnet (viel genauer als eine gedruckte z-Tabelle), und alles läuft in Ihrem Browser.
Gut zu wissen
- Aufgaben mit „mindestens einmal“ löst man am einfachsten rückwärts: 1 − P(keinmal).
- Verwenden Sie Kombinationen, wenn die Reihenfolge der gewählten Elemente egal ist (eine Hand Karten), und Permutationen, wenn sie zählt (ein Rennergebnis).
- Multiplizieren Sie Wahrscheinlichkeiten für „und“ nur bei unabhängigen Ereignissen; sonst verwenden Sie P(A) × P(B | A).
- Für eine Aufgabe mit der Normalverteilungstabelle setzen Sie μ = 0 und σ = 1 und geben den z-Wert als Wert ein.
Fragen zur Wahrscheinlichkeit
Wie berechnet man eine Wahrscheinlichkeit?
Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen: Wahrscheinlichkeit = Anzahl der günstigen Ergebnisse ÷ Anzahl aller Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit, aus einem vollständigen Kartenspiel ein Herz zu ziehen, ist 13 ÷ 52 = 0,25 oder 25 %.
Was ist der Unterschied zwischen nCr und nPr?
nCr zählt Kombinationen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt: 3 von 10 Personen auswählen ergibt 120. nPr zählt Permutationen, bei denen die Reihenfolge zählt: Platz 1, 2 und 3 unter 10 Läufern ergibt 720. nPr = nCr × r!.
Wie viele Pokerhände mit 5 Karten gibt es?
52C5 = 52! ÷ (5! × 47!) = 2.598.960.
Wie berechnet man P(A oder B)?
Addieren Sie beide Wahrscheinlichkeiten und ziehen Sie die Wahrscheinlichkeit ab, dass beide eintreten: P(A oder B) = P(A) + P(B) − P(A und B). Bei unvereinbaren Ereignissen ist die Überschneidung 0, Sie addieren also einfach.
Wann verwendet man die Binomialverteilung?
Wenn es eine feste Anzahl unabhängiger Versuche gibt, jeweils mit nur zwei Ausgängen (Treffer oder Niete) und jedes Mal gleicher Trefferwahrscheinlichkeit – z. B. die Anzahl Kopf bei 10 Münzwürfen.
Wie bestimme ich die Wahrscheinlichkeit aus einem z-Wert?
Wählen Sie die Normalverteilung mit Erwartungswert 0 und Standardabweichung 1 und geben Sie den z-Wert als Wert ein: P(Z < 1,96) = 0,975. Bei jeder anderen Normalverteilung berechnet der Rechner zuerst z = (x − μ) ÷ σ.
Quellen
- NIST/SEMATECH e-Handbook – Binomialverteilung
- NIST/SEMATECH e-Handbook – Normalverteilung
- NIST Digital Library of Mathematical Functions – Fehlerfunktionen und Normalverteilung (§7.2, §7.9)
- Acklam, An algorithm for computing the inverse normal cumulative distribution function (verfeinert mit Newton-Halley-Schritten)
- OpenStax Introductory Statistics – Wahrscheinlichkeit, Binomial- und Normalverteilung
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