Wie addiert man Brüche mit verschiedenen Nennern?
- 1Wählen Sie, was Sie tun möchten: rechnen, kürzen, umwandeln oder vergleichen.
- 2Geben Sie jeden Bruch in die Felder ein – Ganze, Zähler und Nenner. Lassen Sie „Ganze“ bei einem gewöhnlichen Bruch leer; tippen Sie auf ±, um ihn negativ zu machen.
- 3Wählen Sie +, −, × oder ÷ zwischen den Brüchen und fügen Sie bei Bedarf weitere Brüche hinzu.
- 4Lesen Sie das Ergebnis vollständig gekürzt, als gemischte Zahl und als Dezimalzahl ab und folgen Sie darunter dem Rechenweg Schritt für Schritt.
Regeln der Bruchrechnung: Hauptnenner, kgV und ggT
- 01a/b + c/d = (a × d′ + c × b′) / kgV(b, d), mit d′ = kgV ÷ b und b′ = kgV ÷ d
- 02a/b × c/d = (a × c) / (b × d)
- 03a/b ÷ c/d = a/b × d/c
- 04Kürzen: Zähler und Nenner durch ggT(Zähler, Nenner) teilen
- 05kgV(b, d) = b × d ÷ ggT(b, d)
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, brauchen sie denselben Nenner. Der Rechner verwendet den Hauptnenner – das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner –, damit die Zahlen so klein wie möglich bleiben, erweitert jeden Bruch darauf und addiert oder subtrahiert dann die Zähler. Multiplizieren ist einfacher: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Dividieren heißt mit dem Kehrwert multiplizieren (dem umgedrehten zweiten Bruch).
Jedes Ergebnis wird vollständig gekürzt, indem Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT) geteilt werden. Den ggT liefert der euklidische Algorithmus – teilen, Rest behalten, wiederholen, bis der Rest 0 ist –, der für Zahlen jeder Größe funktioniert. Bei mehreren Rechenarten kommen × und ÷ vor + und −, wie es die Rechenreihenfolge (Punkt vor Strich) verlangt.
Dezimalzahlen: Ein Bruch ergibt durch schriftliche Division eine Dezimalzahl, und weil es nur begrenzt viele mögliche Reste gibt, brechen die Ziffern entweder ab oder wiederholen sich. Umgekehrt wird eine periodische Dezimalzahl wie 0,1666… zum Bruch, indem man mit 10 und 100 multipliziert und subtrahiert, sodass sich der endlose Teil aufhebt: 90x = 15, x = 1/6. Alle Rechnungen sind exakt (ohne Runden), mit ganzen Zahlen beliebiger Länge.
Gut zu wissen
- Prüfen Sie, ob das Ergebnis gekürzt ist: Sind Zähler und Nenner beide gerade, ist es das noch nicht.
- Um durch einen Bruch zu teilen, drehen Sie ihn um und multiplizieren – 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2.
- Eine gemischte Zahl wie 2 ⅓ wird vor dem Multiplizieren oder Dividieren zu (2 × 3 + 1)/3 = 7/3.
- Nur Nenner aus den Faktoren 2 und 5 ergeben eine abbrechende Dezimalzahl; alles andere (wie 3 oder 7) ist periodisch.
Bruchrechnen – Fragen von Schülerinnen und Schülern
Wie addiert man Brüche mit verschiedenen Nennern?
Bestimmen Sie den Hauptnenner (das kgV der Nenner), erweitern Sie jeden Bruch darauf, addieren Sie die Zähler und kürzen Sie. Für 1/4 + 1/6: kgV(4, 6) = 12, also 3/12 + 2/12 = 5/12.
Wie kürzt man einen Bruch?
Teilen Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler. Bei 84/36 ist der ggT 12, also 84/36 = 7/3, als gemischte Zahl 2 ⅓.
Wie dividiert man Brüche?
Den ersten Bruch beibehalten, ÷ in × ändern und den zweiten Bruch umdrehen: 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 ⅞.
Wie wandle ich eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch um?
Nennen Sie die Dezimalzahl x, multiplizieren Sie mit einer Zehnerpotenz, sodass die Periode übereinander steht, und subtrahieren Sie. Für 0,333…: 10x = 3,333…, also 9x = 3 und x = 1/3. Geben Sie sie hier als 0,(3) oder 0,333... ein.
Wie multipliziert man gemischte Zahlen?
Wandeln Sie jede gemischte Zahl zuerst in einen unechten Bruch um und multiplizieren Sie dann Zähler und Nenner: 1 ½ × 2 ⅔ = 3/2 × 8/3 = 24/6 = 4.
Welcher Bruch ist größer, 2/3 oder 3/5?
Machen Sie sie gleichnamig: 2/3 = 10/15 und 3/5 = 9/15, also ist 2/3 größer. Über Kreuz multipliziert ergibt sich dasselbe: 2 × 5 = 10 ist mehr als 3 × 3 = 9.
Quellen
- Euklidischer Algorithmus für den größten gemeinsamen Teiler
- Khan Academy – Brüche (addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren)
- Periodische Dezimalzahl – Umwandlung in einen Bruch
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