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Matrizenrechner mit Rechenweg

Berechnen Sie Determinanten, Inverse, Produkte, Rang und reduzierte Zeilenstufenform oder lösen Sie Ax = b für Matrizen bis 6 × 6. Alles ist exakt – Brüche, nie Rundungsfehler –, und jede Entwicklung und Zeilenumformung wird gezeigt, so wie Sie sie im Unterricht aufschreiben würden.

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Wie berechnet man die Inverse einer Matrix?

  1. 1Wählen Sie die Rechenart – Determinante, Inverse, A × B, reduzierte Stufenform usw.
  2. 2Legen Sie die Zahl der Zeilen und Spalten fest und geben Sie die Zahlen ein (Brüche wie 1/2 sind erlaubt; leere Felder sind 0).
  3. 3Lesen Sie das Ergebnis als exakte Brüche ab oder – mit einem Häkchen – als Dezimalzahlen.
  4. 4Folgen Sie dem Rechenweg Schritt für Schritt: Laplace-Entwicklung für kleine Determinanten, Zeilenumformungen für alles andere.

Determinante, Inverse und Zeilenumformungen – die Regeln

  1. 012 × 2: det |a b; c d| = ad − bc, A⁻¹ = (1/det) |d −b; −c a|
  2. 023 × 3: det A = a₁₁M₁₁ − a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃ (Laplace-Entwicklung)
  3. 03Inverse: [A | I] → [I | A⁻¹] umformen (Gauß-Jordan)
  4. 04(AB)ᵢⱼ = Zeile i von A · Spalte j von B
  5. 05Rang A = Zahl der Pivotelemente (Zeilen ungleich null) in der reduzierten Stufenform von A

Kleine Determinanten werden per Laplace-Entwicklung bestimmt – der Methode aus der Schule: Bei einer 3 × 3-Matrix wird jeder Eintrag der ersten Zeile mit der 2 × 2-Determinante multipliziert, die übrig bleibt, wenn man seine Zeile und Spalte streicht, mit den Vorzeichen + − +. Größere Determinanten werden durch Zeilenumformungen berechnet: Das Subtrahieren von Vielfachen von Zeilen ändert die Determinante nicht, ein Zeilentausch kehrt ihr Vorzeichen um, und die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Diagonale.

Die Inverse ergibt sich aus dem Gauß-Jordan-Verfahren: A neben die Einheitsmatrix schreiben und mit Zeilenumformungen (Zeilen tauschen, eine Zeile mit einer Zahl multiplizieren, ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren) umformen, bis links die Einheitsmatrix steht – rechts steht dann A⁻¹. Taucht eine Nullzeile auf, ist die Determinante 0, und es gibt keine Inverse. Dieselben Zeilenumformungen liefern die reduzierte Zeilenstufenform, den Rang und die Lösung von Ax = b (eine, keine oder unendlich viele).

Alle Rechnungen verwenden exakte Brüche mit ganzen Zahlen beliebiger Größe, es wird also bei keinem Schritt gerundet – nützlich, weil Matrizen wie die Hilbert-Matrix dafür bekannt sind, mit gewöhnlichen Dezimalzahlen schiefzugehen. Setzen Sie das Häkchen bei „Dezimalzahlen anzeigen“, um dieselben Ergebnisse auf 8 signifikante Stellen gerundet zu sehen.

Gut zu wissen

  • Nur quadratische Matrizen haben eine Determinante oder eine Inverse.
  • Ist det A = 0, hat die Matrix keine Inverse, und Ax = b hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen.
  • A × B ist meist nicht dasselbe wie B × A – die Reihenfolge zählt.
  • Zur Probe einer Inversen multiplizieren Sie A mit A⁻¹: Es sollte die Einheitsmatrix herauskommen.

Matrizen – Fragen von Schülerinnen und Schülern

Wie berechnet man die Determinante einer 3 × 3-Matrix?

Nach der ersten Zeile entwickeln: a₁₁ mal die 2 × 2-Determinante, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, minus a₁₂ mal seine 2 × 2-Determinante, plus a₁₃ mal seine 2 × 2-Determinante. Für |6 1 1; 4 −2 5; 2 8 7| ist das 6(−54) − 1(18) + 1(36) = −306.

Wie berechnet man die Inverse einer Matrix?

Bei 2 × 2: a und d tauschen, die Vorzeichen von b und c umkehren und durch ad − bc teilen. Bei größeren Matrizen [A | I] aufschreiben und mit Zeilenumformungen umformen, bis links I steht; rechts steht dann A⁻¹.

Wann hat eine Matrix keine Inverse?

Wenn ihre Determinante 0 ist. Die Matrix heißt dann singulär: Ihre Zeilen (oder Spalten) sind linear abhängig, zum Beispiel ist eine Zeile ein Vielfaches einer anderen.

Wie multipliziert man zwei Matrizen?

Jeder Eintrag von AB ist eine Zeile von A mal eine Spalte von B: passende Einträge multiplizieren und addieren. Das geht nur, wenn A so viele Spalten hat wie B Zeilen; eine 2 × 3- mal eine 3 × 2-Matrix ergibt eine 2 × 2-Matrix.

Was ist der Rang einer Matrix?

Die Zahl der linear unabhängigen Zeilen – in der Praxis die Zahl der Zeilen ungleich null (Pivotelemente) nach dem Umformen. Die 3 × 3-Matrix 1 2 3 / 4 5 6 / 7 8 9 hat Rang 2.

Was ist die reduzierte Zeilenstufenform?

Die Form, in der jede Zeile ungleich null mit einer 1 beginnt (dem Pivotelement), jedes Pivotelement rechts von dem darüber steht und jeder andere Eintrag in der Spalte eines Pivotelements 0 ist. Sie ist das Ergebnis des Gauß-Jordan-Verfahrens.

Quellen

Formeln zuletzt geprüft: 30. September 2026 ·So prüfen wir unsere Formeln

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