Wie löst man eine Gleichung nach x auf?
- 1Wählen Sie die Art der Gleichung – oder geben Sie einfach eine beliebige Gleichung in x ein.
- 2Tippen Sie sie mit ^ für Potenzen ein (die Tasten helfen am Handy) oder füllen Sie die Koeffizientenfelder aus.
- 3Lesen Sie die exakte Lösung, ihren Dezimalwert und den Graphen ab.
- 4Folgen Sie dem Rechenweg Schritt für Schritt, um zu sehen, wie gelöst wird – und kontrollieren Sie Ihre eigenen Hausaufgaben.
Mitternachtsformel, Diskriminante und Cramersche Regel
- 01Linear: ax + b = c → x = (c − b) / a
- 02Quadratisch: ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
- 03Diskriminante D = b² − 4ac: D > 0 zwei reelle Lösungen, D = 0 eine, D < 0 zwei komplexe Lösungen
- 04Scheitelpunkt von y = ax² + bx + c: x = −b / 2a
- 052 × 2-System (Cramer): x = Dₓ / D, y = Dᵧ / D mit D = a₁b₂ − a₂b₁
Eine lineare Gleichung löst man, indem man auf beiden Seiten dasselbe tut: Klammern auflösen, die x-Terme auf eine Seite und die Zahlen auf die andere bringen, dann durch die Zahl vor x teilen. Zur Probe wird die Lösung in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt.
Eine quadratische Gleichung wird zuerst in die Normalform ax² + bx + c = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten gebracht. Die Diskriminante b² − 4ac entscheidet, wie viele reelle Lösungen es gibt; die Lösungsformel (Mitternachtsformel) liefert sie exakt, mit vereinfachten Wurzeln (√48 = 4√3) und komplexen Lösungen mit i. Sind die Lösungen Brüche, wird die Gleichung auch faktorisiert. Bei kubischen und höheren Gleichungen findet der Test auf rationale Nullstellen Bruch-Lösungen, das Horner-Schema dividiert sie ab, und der Rest wird als quadratische Gleichung gelöst – oder numerisch, wenn sich nichts zerlegen lässt.
Systeme aus zwei Gleichungen werden mit dem Additionsverfahren gelöst – die Gleichungen so multiplizieren, dass eine Unbekannte wegfällt, lösen, dann zurück einsetzen – und mit der Cramerschen Regel geprüft. Drei Gleichungen werden mit Gauß-Jordan-Zeilenumformungen an der erweiterten Matrix gelöst. Widersprechen sich die Gleichungen, gibt es keine Lösung; sagen sie dasselbe aus, gibt es unendlich viele, geschrieben mit einem freien Buchstaben t. Alle Rechnungen sind exakt, mit Brüchen beliebiger Größe.
Gut zu wissen
- Schreiben Sie Potenzen mit ^ – x^2 für x² – oder nutzen Sie die Taste x²; 2x bedeutet 2 × x.
- Klammern zählen: 3(x − 2) multipliziert beide Terme in der Klammer mit 3.
- Ist die Diskriminante eine Quadratzahl (wie 49), lässt sich die quadratische Gleichung glatt faktorisieren.
- Bei Textaufgaben schreiben Sie pro Angabe eine Gleichung und nutzen dann den Modus mit 2 oder 3 Gleichungen.
Gleichungen lösen – Fragen von Schülerinnen und Schülern
Wie löst man eine quadratische Gleichung?
Bringen Sie sie in die Form ax² + bx + c = 0, berechnen Sie die Diskriminante D = b² − 4ac und verwenden Sie dann x = (−b ± √D) / 2a. Für 2x² − 3x − 5 = 0: D = 9 + 40 = 49, also x = (3 ± 7) / 4, das ergibt x = 5/2 oder x = −1.
Was sagt die Diskriminante aus?
Ist b² − 4ac positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen, ist sie null, gibt es eine doppelte Lösung, und ist sie negativ, gibt es keine reellen Lösungen – die Lösungen sind komplexe Zahlen, und die Parabel schneidet die x-Achse nicht.
Wie löst man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten?
Machen Sie die Koeffizienten einer Unbekannten durch Multiplizieren gleich, addieren oder subtrahieren Sie die Gleichungen, damit sie wegfällt, lösen Sie nach der anderen Unbekannten auf und setzen Sie zurück ein. Für 2x + 3y = 7 und x − y = 1: die zweite verdoppeln, subtrahieren, 5y = 5, also y = 1 und x = 2.
Wann hat ein Gleichungssystem keine Lösung?
Wenn sich die Gleichungen widersprechen – bei zwei Unbekannten, wenn die Geraden parallel sind, wie bei x + y = 2 und 2x + 2y = 5. Ist eine Gleichung nur ein Vielfaches der anderen, sind sie dieselbe Gerade, und es gibt unendlich viele Lösungen.
Gibt es exakte Lösungen statt Dezimalzahlen?
Ja. Die Lösungen sind Brüche und vereinfachte Wurzeln, etwa (3 + √41)/4 oder 2 ± √3, mit dem Dezimalwert daneben.
Wie löst man eine kubische Gleichung?
Suchen Sie mit dem Test auf rationale Nullstellen eine einfache Lösung (probieren Sie Teiler des Absolutglieds geteilt durch Teiler des Leitkoeffizienten), dividieren Sie sie mit dem Horner-Schema ab und lösen Sie die verbleibende quadratische Gleichung. x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 hat die Lösungen 1, 2 und 3.
Quellen
- Lösungsformel für quadratische Gleichungen und Diskriminante
- Satz über rationale Nullstellen
- Cramersche Regel
- Khan Academy – Gleichungen und Gleichungssysteme lösen
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