كيف أجد الوسط الحسابي والوسيط والمنوال والانحراف المعياري؟
- 1اكتب أرقامك أو الصقها — تعمل أي فواصل — أو انتقل إلى جدول تكراري بقيم أو فئات (10-20) وعدد مرات تكرار كل منها.
- 2حدّد هل بياناتك عيّنة أم المجتمع كاملًا، واختر طريقة حساب الربيعيات التي يستخدمها مقررك.
- 3اقرأ النتائج: النزعة المركزية والتشتت والربيعيات والقيم الشاذة؛ واكتب قيمة لتحصل على درجتها المعيارية z.
- 4مرّر للأسفل لترى المدرج التكراري ومخطط الصندوق والجدول التكراري والحل الكامل خطوة بخطوة.
ما معادلات الانحراف المعياري والتباين؟
- 01الوسط الحسابي x̄ = Σx ÷ n
- 02تباين العيّنة s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) · تباين المجتمع σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n
- 03الانحراف المعياري = √التباين · z = (x − x̄) ÷ SD
- 04IQR = Q3 − Q1 · القيم الشاذة: أقل من Q1 − 1.5·IQR أو أكبر من Q3 + 1.5·IQR
- 05البيانات المبوّبة: الوسيط = L + ((n/2 − CF) ÷ f) × h · المنوال = L + (f₁ − f₀) ÷ (2f₁ − f₀ − f₂) × h
الوسط الحسابي يجمع كل القيم ويقسمها على عددها. والوسيط هو القيمة الوسطى بعد ترتيب البيانات (أو متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). والمنوال هو القيمة الأكثر تكرارًا — وقد يكون هناك أكثر من منوال، أو لا يوجد منوال أصلًا.
الانحراف المعياري يقيس مدى تشتت القيم حول الوسط الحسابي. ربّع بُعد كل قيمة عن الوسط، واجمع المربعات، واقسم، ثم خذ الجذر التربيعي. اقسم على n − 1 للعيّنة (تصحيح Bessel، حتى لا يكون التقدير صغيرًا جدًا) وعلى n للمجتمع كاملًا. للقيم 2، 4، 4، 4، 5، 5، 7، 9 يكون انحراف المجتمع 2 بالضبط وانحراف العيّنة 2.138.
الربيعيات تقسم البيانات المرتبة إلى أربعة أجزاء متساوية. وتستخدم الكتب والآلات الحاسبة وجداول البيانات قواعد مختلفة قليلًا، ولهذا قد لا تطابق إجابتك أداة أخرى — لذا تذكر هذه الحاسبة طريقتها وتتيح لك الاختيار: قاعدة TI-84 / الكتب المدرسية، أو مفصلات Tukey، أو QUARTILE.INC أو QUARTILE.EXC في Excel.
في البيانات المبوّبة (فئات مع تكراراتها) تُمثَّل كل فئة بمركزها، ويُحسب الوسيط والربيعيات والمنوال بمعادلات الاستيفاء التي تُدرَّس في المدارس. تعمل الحاسبة داخل متصفحك؛ ولا تُرسل أرقامك إلى أي مكان.
نصائح مفيدة
- الواجبات تطلب عادةً الانحراف المعياري للعيّنة (n − 1) ما لم يذكر السؤال أن البيانات هي المجتمع كاملًا.
- إذا اختلفت ربيعياتك عن الإجابة النموذجية، غيّر طريقة حساب الربيعيات — الكتب المدرسية وExcel تستخدم قواعد مختلفة.
- الصق البيانات مباشرة من Excel أو Google Sheets: العمود المنسوخ يصل رقمًا في كل سطر.
- الوسيط والمدى الربيعي لا يتأثران كثيرًا بالقيم الشاذة؛ أما الوسط والانحراف المعياري فيتأثران — قارن بينهما لتكتشف البيانات الملتوية.
أسئلة في الإحصاء
ما الفرق بين الانحراف المعياري للعيّنة وللمجتمع؟
كلاهما يقيس التشتت. انحراف المجتمع (σ) يقسم مجموع مربعات الانحرافات على n، ويُستخدم عندما تكون بياناتك هي المجموعة كلها. وانحراف العيّنة (s) يقسم على n − 1، ويُستخدم عندما تكون بياناتك عيّنة من مجموعة أكبر؛ وهو أكبر قليلًا.
كيف أحسب الانحراف المعياري خطوة بخطوة؟
أوجد الوسط الحسابي، واطرحه من كل قيمة، وربّع كل فرق، واجمع المربعات، واقسم على n − 1 (للعيّنة) أو n (للمجتمع)، ثم خذ الجذر التربيعي. ويعرض قسم الحل أعلاه كل خطوة بأرقامك أنت.
كيف أجد الوسط الحسابي والوسيط والمنوال؟
الوسط الحسابي: اجمع كل القيم واقسم على عددها. الوسيط: رتّب القيم وخذ القيمة الوسطى (أو متوسط القيمتين الوسطيين). المنوال: القيمة الأكثر تكرارًا.
لماذا تختلف ربيعياتي عن الآلة الحاسبة أو Excel؟
لا توجد قاعدة واحدة للربيعيات. آلات TI تستبعد الوسيط من النصفين، ودالة QUARTILE.INC في Excel تستوفي عند (n − 1)p، وQUARTILE.EXC عند (n + 1)p. اختر الطريقة نفسها هنا لتتطابق النتائج.
كيف أجد القيم الشاذة باستخدام المدى الربيعي؟
احسب IQR = Q3 − Q1. أي قيمة أقل من Q1 − 1.5 × IQR أو أكبر من Q3 + 1.5 × IQR قيمة شاذة (قاعدة Tukey). وتُرسم هذه القيم دوائر في مخطط الصندوق.
كيف أجد الوسط الحسابي والوسيط للبيانات المبوّبة؟
استخدم مركز كل فئة x: الوسط = Σfx ÷ Σf. وللوسيط، أوجد الفئة التي تحتوي القيمة رقم (n/2) واستخدم الوسيط = L + ((n/2 − CF) ÷ f) × h، حيث L حدها الأدنى، وCF التكرار التراكمي قبلها، وf تكرارها، وh طولها.
المصادر
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — مقاييس الموقع والتشتت
- NIST/SEMATECH e-Handbook — ما القيم الشاذة في البيانات؟ (حدود 1.5 × IQR)
- Hyndman & Fan (1996)، Sample quantiles in statistical packages، The American Statistician 50(4)
- Microsoft Support — دالتا QUARTILE.INC وQUARTILE.EXC
- NCERT Mathematics للصف العاشر، الفصل 13 — الإحصاء (الوسط والوسيط والمنوال للبيانات المبوّبة)
آخر مراجعة للمعادلات: 30 سبتمبر 2026 ·كيف نتحقق من معادلاتنا