كيف تجد معكوس مصفوفة؟
- 1اختر العملية — المحدد، أو المعكوس، أو A × B، أو RREF وغيرها.
- 2حدد عدد الصفوف والأعمدة واكتب الأعداد (الكسور مثل 1/2 مقبولة؛ والخانات الفارغة تساوي 0).
- 3اقرأ الإجابة ككسور دقيقة أو — بعلامة واحدة — كأعداد عشرية.
- 4تابع خطوات الحل: العوامل المرافقة للمحددات الصغيرة، والعمليات على الصفوف للباقي.
المحدد والمعكوس واختزال الصفوف — القواعد
- 012 × 2: det |a b; c d| = ad − bc، A⁻¹ = (1/det) |d −b; −c a|
- 023 × 3: det A = a₁₁M₁₁ − a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃ (الفك بالعوامل المرافقة)
- 03المعكوس: اختزل [A | I] → [I | A⁻¹] (غاوس–جوردان)
- 04(AB)ᵢⱼ = الصف i من A · العمود j من B
- 05rank A = عدد المحاور (الصفوف غير الصفرية) في RREF(A)
تُحسب المحددات الصغيرة بالفك بالعوامل المرافقة — الطريقة التي تُدرّس في المدرسة: في مصفوفة 3 × 3، يُضرب كل عنصر في الصف الأول في محدد 2 × 2 المتبقي بعد شطب صفه وعموده، بالإشارات + − +. أما المحددات الأكبر فتستخدم اختزال الصفوف: طرح مضاعفات الصفوف لا يغيّر المحدد، وتبديل صفين يعكس إشارته، ومحدد المصفوفة المثلثية هو حاصل ضرب عناصر قطرها.
يأتي المعكوس من حذف غاوس–جوردان: اكتب A بجانب مصفوفة الوحدة واستخدم العمليات على الصفوف (تبديل الصفوف، وضرب صف في عدد، وإضافة مضاعف صف إلى صف آخر) حتى يصبح الطرف الأيسر مصفوفة الوحدة — فيكون الطرف الأيمن A⁻¹. وإذا ظهر صف من الأصفار، فالمحدد يساوي 0 ولا يوجد معكوس. والعمليات نفسها على الصفوف تعطي الصيغة الدرجية المختزلة والرتبة وحل Ax = b (حل واحد، أو لا حل، أو عدد لا نهائي).
كل العمليات الحسابية تستخدم كسورًا دقيقة بأعداد صحيحة من أي حجم، فلا تقريب في أي خطوة — وهذا مفيد لأن مصفوفات مثل مصفوفة هيلبرت مشهورة بإعطاء نتائج خاطئة مع الأعداد العشرية العادية. فعّل «اعرض أعدادًا عشرية» لترى الإجابات نفسها مقرّبة إلى 8 أرقام معنوية.
نصائح مفيدة
- المصفوفات المربعة فقط لها محدد أو معكوس.
- إذا كان det A = 0 فليس للمصفوفة معكوس، وAx = b إما ليس له حل أو له عدد لا نهائي من الحلول.
- A × B عادةً لا تساوي B × A — الترتيب مهم.
- للتحقق من المعكوس، اضرب A في A⁻¹: يجب أن تحصل على مصفوفة الوحدة.
المصفوفات — أسئلة يطرحها الطلاب
كيف تجد محدد مصفوفة 3 × 3؟
افكّ على الصف الأول: a₁₁ مضروبًا في محدد 2 × 2 المتبقي بعد شطب صفه وعموده، ناقص a₁₂ مضروبًا في محدد 2 × 2 الخاص به، زائد a₁₃ مضروبًا في محدد 2 × 2 الخاص به. للمصفوفة |6 1 1; 4 −2 5; 2 8 7| يكون الناتج 6(−54) − 1(18) + 1(36) = −306.
كيف تجد معكوس مصفوفة؟
للمصفوفة 2 × 2: بدّل a وd، وغيّر إشارتي b وc، واقسم على ad − bc. وللمصفوفات الأكبر، اكتب [A | I] واستخدم العمليات على الصفوف حتى يصبح الطرف الأيسر I؛ فيكون الطرف الأيمن A⁻¹.
متى لا يكون للمصفوفة معكوس؟
عندما يساوي محددها 0. تُسمى المصفوفة عندها منفردة: صفوفها (أو أعمدتها) مرتبطة ببعضها، مثلًا يكون أحد الصفوف مضاعفًا لصف آخر.
كيف تضرب مصفوفتين؟
كل عنصر في AB هو صف من A مضروبًا في عمود من B: اضرب العناصر المتقابلة واجمعها. ولا ينجح ذلك إلا إذا كان عدد أعمدة A يساوي عدد صفوف B؛ فضرب 2 × 3 في 3 × 2 يعطي 2 × 2.
ما هي رتبة المصفوفة؟
عدد الصفوف المستقلة — عمليًا عدد الصفوف غير الصفرية (المحاور) بعد اختزالها. المصفوفة 3 × 3 1 2 3 / 4 5 6 / 7 8 9 رتبتها 2.
ما هي الصيغة الدرجية المختزلة (RREF)؟
الصيغة التي يبدأ فيها كل صف غير صفري بالعدد 1 (المحور)، ويكون كل محور على يمين المحور الذي فوقه، وكل عنصر آخر في عمود المحور يساوي 0. وهي ما ينتجه حذف غاوس–جوردان.
المصادر
- حذف غاوس والصيغة الدرجية المختزلة (Gaussian elimination)
- فك لابلاس (بالعوامل المرافقة) للمحدد (Laplace expansion)
- Khan Academy – المصفوفات
- مصفوفة هيلبرت (معكوسها الدقيق مستخدم لاختبار الحاسبة)
آخر مراجعة للمعادلات: 30 سبتمبر 2026 ·كيف نتحقق من معادلاتنا