كيف تحل معادلة لإيجاد قيمة x؟
- 1اختر نوع المعادلة — أو اكتب ببساطة أي معادلة في x.
- 2اكتبها مستخدمًا ^ للأسس (المفاتيح تساعدك على الهاتف)، أو املأ خانات المعاملات.
- 3اقرأ الإجابة الدقيقة وقيمتها العشرية والرسم البياني.
- 4تابع خطوات الحل لترى كيف حُلّت — وراجع واجبك بنفسك.
القانون العام والمميّز وقاعدة كرامر
- 01الخطية: ax + b = c → x = (c − b) / a
- 02التربيعية: ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
- 03المميّز D = b² − 4ac: إذا D > 0 جذران حقيقيان، وD = 0 جذر واحد، وD < 0 جذران مركّبان
- 04رأس y = ax² + bx + c: x = −b / 2a
- 05نظام 2 × 2 (كرامر): x = Dₓ / D، y = Dᵧ / D حيث D = a₁b₂ − a₂b₁
تُحل المعادلة الخطية بإجراء العملية نفسها على الطرفين: فك الأقواس، ونقل حدود x إلى طرف والأعداد إلى الطرف الآخر، ثم القسمة على معامل x. وتُعوّض الإجابة في المعادلة الأصلية للتحقق.
تُكتب المعادلة التربيعية أولًا بالصورة القياسية ax² + bx + c = 0 بمعاملات صحيحة. يحدد المميّز b² − 4ac عدد الجذور الحقيقية؛ ويعطيها القانون العام بدقة، مع تبسيط الجذور التربيعية (√48 = 4√3) وكتابة الجذور المركّبة باستخدام i. وعندما تكون الجذور كسورًا تُحلل المعادلة أيضًا. وفي المعادلات التكعيبية والأعلى، يجد اختبار الجذور النسبية الجذور الكسرية، وتزيلها القسمة التركيبية، ويُحل الباقي كمعادلة تربيعية — أو عدديًا إذا لم يمكن التحليل.
تُحل أنظمة المعادلتين بالحذف — اضرب المعادلات بحيث يُحذف أحد المجهولين، ثم أوجد الآخر، ثم عوّض — ويُتحقق منها بقاعدة كرامر. أما الثلاث معادلات فتستخدم عمليات غاوس–جوردان على صفوف المصفوفة الموسّعة. إذا تناقضت المعادلات فلا يوجد حل؛ وإذا كانت تعبّر عن الشيء نفسه فهناك عدد لا نهائي من الحلول، يُكتب بحرف حر t. كل العمليات الحسابية دقيقة بكسور من أي حجم.
نصائح مفيدة
- اكتب الأسس بـ ^ — مثل x^2 لـ x² — أو استخدم مفتاح x²؛ و2x تعني 2 × x.
- الأقواس مهمة: 3(x − 2) تضرب كلا الحدين داخلها في 3.
- إذا كان المميّز مربعًا كاملًا (مثل 49)، فإن المعادلة التربيعية تُحلل بسهولة.
- في المسائل الكلامية، اكتب معادلة لكل معلومة، ثم استخدم وضع المعادلتين أو الثلاث.
حل المعادلات — أسئلة يطرحها الطلاب
كيف تحل معادلة من الدرجة الثانية؟
اكتبها بالصورة ax² + bx + c = 0، واحسب المميّز D = b² − 4ac، ثم استخدم x = (−b ± √D) / 2a. في 2x² − 3x − 5 = 0: D = 9 + 40 = 49، إذن x = (3 ± 7) / 4، فيكون x = 5/2 أو x = −1.
ماذا يخبرك المميّز؟
إذا كان b² − 4ac موجبًا فهناك جذران حقيقيان مختلفان، وإذا كان صفرًا فهناك جذر واحد مكرر، وإذا كان سالبًا فلا توجد جذور حقيقية — الجذور أعداد مركّبة والقطع المكافئ لا يقطع محور x.
كيف تحل معادلتين بمجهولين؟
اجعل معاملي أحد المجهولين متساويين بضرب المعادلات، ثم اجمعهما أو اطرحهما ليُحذف، وأوجد المجهول الآخر، ثم عوّض. في 2x + 3y = 7 وx − y = 1: اضرب الثانية في 2، واطرح، فيكون 5y = 5، إذن y = 1 وx = 2.
متى لا يكون لنظام المعادلات حل؟
عندما تتناقض المعادلات — في حالة مجهولين، عندما يكون المستقيمان متوازيين، مثل x + y = 2 و2x + 2y = 5. وإذا كانت إحدى المعادلتين مضاعفًا للأخرى، فهما المستقيم نفسه ويوجد عدد لا نهائي من الحلول.
هل يمكن أن يعطي إجابات دقيقة بدل الأعداد العشرية؟
نعم. الإجابات كسور وجذور تربيعية مبسطة، مثل (3 + √41)/4 أو 2 ± √3، مع القيمة العشرية بجانبها.
كيف تحل معادلة تكعيبية؟
ابحث عن جذر بسيط باختبار الجذور النسبية (جرّب عوامل الحد الثابت على عوامل المعامل الرئيسي)، واقسم عليه بالقسمة التركيبية، ثم حل المعادلة التربيعية المتبقية. المعادلة x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 جذورها 1 و2 و3.
المصادر
- القانون العام للمعادلة التربيعية والمميّز (Quadratic formula)
- مبرهنة الجذور النسبية (Rational root theorem)
- قاعدة كرامر (Cramer's rule)
- Khan Academy – حل المعادلات وأنظمة المعادلات
آخر مراجعة للمعادلات: 30 سبتمبر 2026 ·كيف نتحقق من معادلاتنا