Comment trouver l'inverse d'une matrice ?
- 1Choisissez l'opération — déterminant, inverse, A × B, forme échelonnée réduite, etc.
- 2Réglez le nombre de lignes et de colonnes et tapez les nombres (les fractions comme 1/2 sont acceptées ; les cases vides valent 0).
- 3Lisez la réponse, en fractions exactes ou — d'une seule case à cocher — en décimaux.
- 4Suivez le calcul étape par étape : cofacteurs pour les petits déterminants, opérations sur les lignes pour le reste.
Déterminant, inverse et échelonnement — les règles
- 012 × 2 : det |a b; c d| = ad − bc, A⁻¹ = (1/det) |d −b; −c a|
- 023 × 3 : det A = a₁₁M₁₁ − a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃ (développement par cofacteurs)
- 03Inverse : échelonner [A | I] → [I | A⁻¹] (Gauss-Jordan)
- 04(AB)ᵢⱼ = ligne i de A · colonne j de B
- 05rang A = nombre de pivots (lignes non nulles) de la forme échelonnée réduite de A
Les petits déterminants se calculent par développement selon les cofacteurs — la méthode enseignée en cours : pour une matrice 3 × 3, chaque coefficient de la première ligne multiplie le déterminant 2 × 2 qui reste quand on barre sa ligne et sa colonne, avec les signes + − +. Les déterminants plus grands utilisent l'échelonnement : soustraire des multiples de lignes ne change pas le déterminant, un échange de lignes change son signe, et le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de sa diagonale.
L'inverse s'obtient par l'élimination de Gauss-Jordan : on écrit A à côté de la matrice identité et on applique des opérations sur les lignes (échanger deux lignes, multiplier une ligne par un nombre, ajouter à une ligne un multiple d'une autre) jusqu'à ce que la partie gauche devienne l'identité — la partie droite est alors A⁻¹. Si une ligne de zéros apparaît, le déterminant vaut 0 et il n'y a pas d'inverse. Les mêmes opérations donnent la forme échelonnée réduite, le rang et la solution de Ax = b (une, aucune ou une infinité).
Tous les calculs utilisent des fractions exactes avec des nombres entiers de toute taille : aucun arrondi à aucune étape — utile, car des matrices comme la matrice de Hilbert sont célèbres pour donner des résultats faux avec des décimaux ordinaires. Cochez « afficher des décimaux » pour voir les mêmes réponses arrondies à 8 chiffres significatifs.
Bon à savoir
- Seules les matrices carrées ont un déterminant ou un inverse.
- Si det A = 0, la matrice n'a pas d'inverse, et Ax = b n'a soit aucune solution, soit une infinité.
- A × B n'est généralement pas égal à B × A — l'ordre compte.
- Pour vérifier un inverse, multipliez A par A⁻¹ : vous devez obtenir la matrice identité.
Matrices — les questions des élèves
Comment calculer le déterminant d'une matrice 3 × 3 ?
Développez selon la première ligne : a₁₁ multiplié par le déterminant 2 × 2 restant après avoir barré sa ligne et sa colonne, moins a₁₂ multiplié par son déterminant 2 × 2, plus a₁₃ multiplié par son déterminant 2 × 2. Pour |6 1 1; 4 −2 5; 2 8 7|, cela donne 6(−54) − 1(18) + 1(36) = −306.
Comment trouver l'inverse d'une matrice ?
Pour une 2 × 2 : échangez a et d, changez le signe de b et c, et divisez par ad − bc. Pour des matrices plus grandes, écrivez [A | I] et appliquez des opérations sur les lignes jusqu'à obtenir I à gauche ; la partie droite est A⁻¹.
Quand une matrice n'a-t-elle pas d'inverse ?
Quand son déterminant vaut 0. La matrice est alors dite singulière : ses lignes (ou ses colonnes) sont liées, par exemple une ligne est un multiple d'une autre.
Comment multiplier deux matrices ?
Chaque coefficient de AB est une ligne de A multipliée par une colonne de B : on multiplie les coefficients correspondants et on additionne. Cela ne marche que si A a autant de colonnes que B a de lignes ; une 2 × 3 multipliée par une 3 × 2 donne une 2 × 2.
Qu'est-ce que le rang d'une matrice ?
Le nombre de lignes indépendantes — en pratique, le nombre de lignes non nulles (pivots) après échelonnement. La matrice 3 × 3 1 2 3 / 4 5 6 / 7 8 9 est de rang 2.
Qu'est-ce que la forme échelonnée réduite ?
La forme où chaque ligne non nulle commence par un 1 (le pivot), chaque pivot est à droite de celui du dessus, et tous les autres coefficients de la colonne d'un pivot valent 0. C'est ce que produit l'élimination de Gauss-Jordan.
Sources
- Élimination de Gauss et forme échelonnée réduite (Wikipédia, en anglais)
- Développement de Laplace (par cofacteurs) du déterminant (Wikipédia, en anglais)
- Khan Academy – Matrices
- Matrice de Hilbert (inverse exact utilisé pour tester la calculatrice) (Wikipédia, en anglais)
Dernière vérification des formules : 30 septembre 2026 ·Comment nous vérifions nos formules