¿Cómo se calcula la inversa de una matriz?
- 1Elige la operación: determinante, inversa, A × B, forma escalonada reducida, etc.
- 2Indica el número de filas y columnas y escribe los números (puedes usar fracciones como 1/2; las casillas vacías valen 0).
- 3Lee la respuesta en fracciones exactas o, marcando una casilla, en decimales.
- 4Sigue el desarrollo paso a paso: cofactores para los determinantes pequeños y operaciones por filas para el resto.
Determinante, inversa y reducción por filas: las reglas
- 012 × 2: det |a b; c d| = ad − bc, A⁻¹ = (1/det) |d −b; −c a|
- 023 × 3: det A = a₁₁M₁₁ − a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃ (desarrollo por cofactores)
- 03Inversa: reducir por filas [A | I] → [I | A⁻¹] (Gauss-Jordan)
- 04(AB)ᵢⱼ = fila i de A · columna j de B
- 05rango A = número de pivotes (filas no nulas) en la forma escalonada reducida de A
Los determinantes pequeños se calculan por desarrollo por cofactores, el método que se enseña en clase: en una matriz 3 × 3, cada elemento de la primera fila multiplica al determinante 2 × 2 que queda al tachar su fila y su columna, con los signos + − +. Los determinantes más grandes usan la reducción por filas: restar múltiplos de filas no cambia el determinante, un intercambio de filas le cambia el signo y el determinante de una matriz triangular es el producto de su diagonal.
La inversa sale de la eliminación de Gauss-Jordan: escribes A junto a la matriz identidad y usas operaciones por filas (intercambiar filas, multiplicar una fila por un número, sumar a una fila un múltiplo de otra) hasta que el lado izquierdo es la identidad; entonces el lado derecho es A⁻¹. Si aparece una fila de ceros, el determinante es 0 y no hay inversa. Las mismas operaciones por filas dan la forma escalonada reducida, el rango y la solución de Ax = b (una, ninguna o infinitas).
Todos los cálculos usan fracciones exactas con números enteros de cualquier tamaño, así que no hay redondeo en ningún paso; esto es útil porque matrices como la de Hilbert son famosas por salir mal con decimales normales. Marca «mostrar decimales» para ver las mismas respuestas redondeadas a 8 cifras significativas.
Consejos útiles
- Solo las matrices cuadradas tienen determinante o inversa.
- Si det A = 0, la matriz no tiene inversa, y Ax = b o no tiene solución o tiene infinitas.
- A × B normalmente no es igual que B × A: el orden importa.
- Para comprobar una inversa, multiplica A por A⁻¹: debes obtener la matriz identidad.
Matrices: preguntas de los estudiantes
¿Cómo se calcula el determinante de una matriz 3 × 3?
Desarrolla por la primera fila: a₁₁ por el determinante 2 × 2 que queda al tachar su fila y su columna, menos a₁₂ por su determinante 2 × 2, más a₁₃ por su determinante 2 × 2. Para |6 1 1; 4 −2 5; 2 8 7| eso da 6(−54) − 1(18) + 1(36) = −306.
¿Cómo se calcula la inversa de una matriz?
Para 2 × 2: intercambia a y d, cambia el signo de b y c, y divide entre ad − bc. Para matrices más grandes, escribe [A | I] y usa operaciones por filas hasta que el lado izquierdo sea I; el lado derecho es A⁻¹.
¿Cuándo una matriz no tiene inversa?
Cuando su determinante es 0. Entonces se dice que la matriz es singular: sus filas (o columnas) dependen unas de otras; por ejemplo, una fila es múltiplo de otra.
¿Cómo se multiplican dos matrices?
Cada elemento de AB es una fila de A por una columna de B: multiplicas los elementos que se corresponden y sumas. Solo funciona cuando A tiene tantas columnas como filas tiene B; una 2 × 3 por una 3 × 2 da una 2 × 2.
¿Qué es el rango de una matriz?
El número de filas independientes; en la práctica, el número de filas no nulas (pivotes) después de reducirla por filas. La matriz 3 × 3 1 2 3 / 4 5 6 / 7 8 9 tiene rango 2.
¿Qué es la forma escalonada reducida?
La forma en la que cada fila no nula empieza con un 1 (el pivote), cada pivote está a la derecha del de la fila de arriba y todos los demás elementos de la columna de un pivote son 0. Es lo que produce la eliminación de Gauss-Jordan.
Fuentes
- Eliminación gaussiana y forma escalonada reducida
- Desarrollo de Laplace (por cofactores) del determinante
- Khan Academy – Matrices
- Matriz de Hilbert (inversa exacta usada para probar la calculadora)
Fórmulas revisadas por última vez: 30 de septiembre de 2026 ·Cómo revisamos nuestras fórmulas