Cara mencari invers matriks
- 1Pilih operasinya — determinan, invers, A × B, RREF dan lainnya.
- 2Atur jumlah baris dan kolom lalu ketik angkanya (pecahan seperti 1/2 boleh; kotak kosong bernilai 0).
- 3Baca jawabannya, dalam pecahan eksak atau — dengan satu centang — dalam desimal.
- 4Ikuti langkah pengerjaannya: kofaktor untuk determinan kecil, operasi baris untuk yang lain.
Determinan, invers dan reduksi baris — aturannya
- 012 × 2: det |a b; c d| = ad − bc, A⁻¹ = (1/det) |d −b; −c a|
- 023 × 3: det A = a₁₁M₁₁ − a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃ (ekspansi kofaktor)
- 03Invers: reduksi baris [A | I] → [I | A⁻¹] (Gauss–Jordan)
- 04(AB)ᵢⱼ = baris i dari A · kolom j dari B
- 05rank A = jumlah pivot (baris tak nol) dalam RREF(A)
Determinan kecil dicari dengan ekspansi kofaktor — metode yang diajarkan di sekolah: untuk matriks 3 × 3, setiap elemen baris pertama dikalikan dengan determinan 2 × 2 yang tersisa saat baris dan kolomnya dicoret, dengan tanda + − +. Determinan yang lebih besar memakai reduksi baris: mengurangkan kelipatan baris tidak mengubah determinan, menukar baris membalik tandanya, dan determinan matriks segitiga adalah hasil kali diagonalnya.
Invers didapat dari eliminasi Gauss–Jordan: tulis A di samping matriks identitas dan pakai operasi baris (menukar baris, mengalikan baris dengan suatu bilangan, menambahkan kelipatan satu baris ke baris lain) sampai sisi kiri menjadi identitas — sisi kanannya adalah A⁻¹. Jika muncul baris nol, determinannya 0 dan tidak ada invers. Operasi baris yang sama menghasilkan bentuk eselon baris tereduksi, rank, dan penyelesaian Ax = b (satu, tidak ada, atau tak hingga banyaknya).
Semua perhitungan memakai pecahan eksak dengan bilangan bulat sebesar apa pun, jadi tidak ada pembulatan di langkah mana pun — berguna karena matriks seperti matriks Hilbert terkenal sering salah jika dihitung dengan desimal biasa. Centang “tampilkan desimal” untuk melihat jawaban yang sama dibulatkan ke 8 angka penting.
Tips berguna
- Hanya matriks persegi yang punya determinan atau invers.
- Jika det A = 0, matriksnya tidak punya invers, dan Ax = b tidak punya penyelesaian atau penyelesaiannya tak hingga banyaknya.
- A × B biasanya tidak sama dengan B × A — urutannya penting.
- Untuk mengecek invers, kalikan A dengan A⁻¹: hasilnya harus matriks identitas.
Matriks — pertanyaan siswa
Bagaimana mencari determinan matriks 3 × 3?
Ekspansi sepanjang baris pertama: a₁₁ dikali determinan 2 × 2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dicoret, dikurangi a₁₂ dikali determinan 2 × 2-nya, ditambah a₁₃ dikali determinan 2 × 2-nya. Untuk |6 1 1; 4 −2 5; 2 8 7| hasilnya 6(−54) − 1(18) + 1(36) = −306.
Bagaimana mencari invers matriks?
Untuk 2 × 2: tukar a dan d, ubah tanda b dan c, lalu bagi dengan ad − bc. Untuk matriks yang lebih besar, tulis [A | I] dan pakai operasi baris sampai sisi kiri menjadi I; sisi kanannya adalah A⁻¹.
Kapan matriks tidak punya invers?
Saat determinannya 0. Matriks itu disebut singular: baris (atau kolom)-nya saling bergantung, misalnya satu baris adalah kelipatan baris lain.
Bagaimana cara mengalikan dua matriks?
Setiap elemen AB adalah satu baris A dikali satu kolom B: kalikan elemen yang berpasangan lalu jumlahkan. Ini hanya bisa jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B; matriks 2 × 3 dikali 3 × 2 menghasilkan 2 × 2.
Apa itu rank matriks?
Jumlah baris yang saling bebas — dalam praktiknya, jumlah baris tak nol (pivot) setelah direduksi baris. Matriks 3 × 3 1 2 3 / 4 5 6 / 7 8 9 punya rank 2.
Apa itu bentuk eselon baris tereduksi (RREF)?
Bentuk di mana setiap baris tak nol diawali angka 1 (pivot), setiap pivot berada di sebelah kanan pivot di atasnya, dan semua elemen lain di kolom pivot bernilai 0. Inilah hasil dari eliminasi Gauss–Jordan.
Sumber
- Eliminasi Gauss dan bentuk eselon baris tereduksi (Gaussian elimination)
- Ekspansi Laplace (kofaktor) untuk determinan
- Khan Academy – Matriks
- Matriks Hilbert (invers eksaknya dipakai untuk menguji kalkulator)
Rumus terakhir diperiksa: 30 September 2026 ·Cara kami memeriksa rumus