Como calcular a matriz inversa?
- 1Escolha a operação — determinante, inversa, A × B, forma escalonada e assim por diante.
- 2Defina o número de linhas e colunas e digite os números (frações como 1/2 funcionam; campos vazios valem 0).
- 3Veja a resposta em frações exatas ou — com um clique — em decimais.
- 4Siga a resolução passo a passo: cofatores para determinantes pequenos, operações com as linhas para o resto.
Determinante, inversa e escalonamento — as regras
- 012 × 2: det |a b; c d| = ad − bc, A⁻¹ = (1/det) |d −b; −c a|
- 023 × 3: det A = a₁₁M₁₁ − a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃ (desenvolvimento por cofatores)
- 03Inversa: escalone [A | I] → [I | A⁻¹] (Gauss–Jordan)
- 04(AB)ᵢⱼ = linha i de A · coluna j de B
- 05posto A = número de pivôs (linhas não nulas) na forma escalonada reduzida de A
Determinantes pequenos são calculados pelo desenvolvimento por cofatores (Laplace) — o método ensinado na escola: numa matriz 3 × 3, cada elemento da primeira linha multiplica o determinante 2 × 2 que sobra quando se riscam a linha e a coluna dele, com sinais + − +. Determinantes maiores usam escalonamento: subtrair múltiplos de linhas não muda o determinante, uma troca de linhas inverte o sinal e o determinante de uma matriz triangular é o produto da diagonal.
A inversa vem da eliminação de Gauss–Jordan: escreva A ao lado da matriz identidade e use operações com as linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por um número, somar a uma linha um múltiplo de outra) até o lado esquerdo virar a identidade — o lado direito é então A⁻¹. Se aparecer uma linha de zeros, o determinante é 0 e não há inversa. As mesmas operações dão a forma escalonada reduzida, o posto e a solução de Ax = b (uma, nenhuma ou infinitas).
Toda a aritmética usa frações exatas com números inteiros de qualquer tamanho, então não há arredondamento em nenhum passo — útil porque matrizes como a de Hilbert são famosas por dar errado com decimais comuns. Marque “mostrar decimais” para ver as mesmas respostas arredondadas para 8 algarismos significativos.
Dicas úteis
- Só matrizes quadradas têm determinante ou inversa.
- Se det A = 0, a matriz não tem inversa, e Ax = b ou não tem solução ou tem infinitas.
- A × B geralmente não é igual a B × A — a ordem importa.
- Para conferir uma inversa, multiplique A por A⁻¹: o resultado deve ser a matriz identidade.
Matrizes — dúvidas dos estudantes
Como calcular o determinante de uma matriz 3 × 3?
Desenvolva pela primeira linha: a₁₁ vezes o determinante 2 × 2 que sobra ao riscar a linha e a coluna dele, menos a₁₂ vezes o seu determinante 2 × 2, mais a₁₃ vezes o seu determinante 2 × 2. Para |6 1 1; 4 −2 5; 2 8 7| isso dá 6(−54) − 1(18) + 1(36) = −306.
Como calcular a inversa de uma matriz?
Para 2 × 2: troque a e d de lugar, mude o sinal de b e c e divida por ad − bc. Para matrizes maiores, escreva [A | I] e use operações com as linhas até o lado esquerdo virar I; o lado direito é A⁻¹.
Quando uma matriz não tem inversa?
Quando o determinante é 0. A matriz então é chamada de singular: suas linhas (ou colunas) dependem umas das outras, por exemplo uma linha é múltipla de outra.
Como multiplicar duas matrizes?
Cada elemento de AB é uma linha de A vezes uma coluna de B: multiplique os elementos correspondentes e some. Só funciona quando A tem tantas colunas quanto B tem linhas; uma 2 × 3 vezes uma 3 × 2 dá uma 2 × 2.
O que é o posto de uma matriz?
O número de linhas independentes — na prática, o número de linhas não nulas (pivôs) depois de escalonar. A matriz 3 × 3 1 2 3 / 4 5 6 / 7 8 9 tem posto 2.
O que é a forma escalonada reduzida?
A forma em que cada linha não nula começa com um 1 (o pivô), cada pivô fica à direita do pivô de cima e todos os outros elementos da coluna de um pivô são 0. É o que a eliminação de Gauss–Jordan produz.
Fontes
- Eliminação gaussiana e forma escalonada reduzida
- Desenvolvimento de Laplace (por cofatores) do determinante
- Khan Academy – Matrizes
- Matriz de Hilbert (inversa exata usada para testar a calculadora)
Fórmulas revisadas em: 30 de setembro de 2026 ·Como verificamos nossas fórmulas