माध्य, माध्यिका, बहुलक और मानक विचलन कैसे निकालें?
- 1अपने नंबर लिखें या पेस्ट करें — कोई भी सेपरेटर चलेगा — या बारंबारता सारणी पर जाएँ, जिसमें मान या वर्ग (10-20) और हर एक कितनी बार आता है।
- 2बताएँ कि आपका डेटा सैंपल है या पूरी पॉपुलेशन, और वह चतुर्थक तरीका चुनें जो आपका कोर्स इस्तेमाल करता है।
- 3नतीजे देखें: केंद्र, फैलाव, चतुर्थक और आउटलायर; किसी मान का z-स्कोर पाने के लिए उसे लिखें।
- 4हिस्टोग्राम, बॉक्स प्लॉट, बारंबारता सारणी और पूरे स्टेप-बाय-स्टेप हिसाब के लिए नीचे स्क्रॉल करें।
मानक विचलन और प्रसरण के फ़ॉर्मूले क्या हैं?
- 01माध्य x̄ = Σx ÷ n
- 02सैंपल प्रसरण s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) · पॉपुलेशन प्रसरण σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n
- 03मानक विचलन = √प्रसरण · z = (x − x̄) ÷ SD
- 04IQR = Q3 − Q1 · आउटलायर: Q1 − 1.5·IQR से नीचे या Q3 + 1.5·IQR से ऊपर
- 05वर्गीकृत डेटा: माध्यिका = L + ((n/2 − CF) ÷ f) × h · बहुलक = L + (f₁ − f₀) ÷ (2f₁ − f₀ − f₂) × h
माध्य में सभी मान जोड़कर उनकी गिनती से भाग दिया जाता है। माध्यिका डेटा को क्रम से लगाने के बाद बीच वाला मान है (n सम हो तो बीच वाले दो मानों का औसत)। बहुलक वह मान है जो सबसे ज़्यादा बार आता है — ऐसे कई हो सकते हैं, या एक भी नहीं।
मानक विचलन नापता है कि मान माध्य के आसपास कितने फैले हुए हैं। हर मान की माध्य से दूरी का वर्ग करें, वर्गों को जोड़ें, भाग दें और वर्गमूल लें। सैंपल के लिए n − 1 से भाग दें (Bessel's correction, ताकि अनुमान बहुत छोटा न रहे) और पूरी पॉपुलेशन के लिए n से। 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 के लिए पॉपुलेशन SD ठीक 2 है और सैंपल SD 2.138।
चतुर्थक क्रम से लगे डेटा को चार बराबर हिस्सों में बाँटते हैं। अलग-अलग किताबें, कैलकुलेटर और स्प्रेडशीट थोड़े अलग नियम इस्तेमाल करते हैं, इसीलिए आपका जवाब किसी दूसरे टूल से मेल नहीं खा सकता — इसलिए यह कैलकुलेटर अपना तरीका बताता है और आपको चुनने देता है: TI-84 / किताब वाला नियम, Tukey's hinges, Excel का QUARTILE.INC या QUARTILE.EXC।
वर्गीकृत डेटा (बारंबारता वाले वर्ग) में हर वर्ग को उसके मध्य-बिंदु से दिखाया जाता है, और माध्यिका, चतुर्थक और बहुलक स्कूल में पढ़ाए जाने वाले इंटरपोलेशन फ़ॉर्मूलों से निकलते हैं। कैलकुलेटर आपके ब्राउज़र में चलता है; आपके नंबर कहीं नहीं भेजे जाते।
काम की बातें
- होमवर्क में आमतौर पर सैंपल मानक विचलन (n − 1) चाहिए, जब तक सवाल में न लिखा हो कि डेटा पूरी पॉपुलेशन है।
- अगर आपके चतुर्थक उत्तरमाला से अलग हैं, तो चतुर्थक का तरीका बदलें — किताबें और Excel अलग नियम इस्तेमाल करते हैं।
- Excel या Google Sheets से सीधे डेटा पेस्ट करें: कॉपी किया गया कॉलम हर लाइन में एक नंबर के रूप में आता है।
- माध्यिका और IQR पर आउटलायर का ज़्यादा असर नहीं होता; माध्य और SD पर होता है — तिरछा (skewed) डेटा पहचानने के लिए इनकी तुलना करें।
सांख्यिकी — आम सवाल
सैंपल और पॉपुलेशन मानक विचलन में क्या फ़र्क़ है?
दोनों फैलाव नापते हैं। पॉपुलेशन SD (σ) विचलनों के वर्गों के जोड़ को n से भाग देता है और तब इस्तेमाल होता है जब आपका डेटा पूरा समूह हो। सैंपल SD (s) n − 1 से भाग देता है और तब इस्तेमाल होता है जब आपका डेटा किसी बड़े समूह का सैंपल हो; यह थोड़ा बड़ा होता है।
मानक विचलन स्टेप बाय स्टेप कैसे निकालें?
माध्य निकालें, उसे हर मान में से घटाएँ, हर अंतर का वर्ग करें, वर्गों को जोड़ें, n − 1 (सैंपल) या n (पॉपुलेशन) से भाग दें, फिर वर्गमूल लें। ऊपर का हिसाब वाला हिस्सा आपके अपने नंबरों से हर स्टेप दिखाता है।
माध्य, माध्यिका और बहुलक कैसे निकालें?
माध्य: सभी मान जोड़ें और उनकी गिनती से भाग दें। माध्यिका: मानों को क्रम से लगाएँ और बीच वाला लें (या बीच वाले दो का औसत)। बहुलक: वह मान जो सबसे ज़्यादा बार आता है।
मेरे चतुर्थक मेरे कैलकुलेटर या Excel से अलग क्यों आते हैं?
चतुर्थक का कोई एक नियम नहीं है। TI कैलकुलेटर माध्यिका को आधों से बाहर रखते हैं, Excel का QUARTILE.INC (n − 1)p पर और QUARTILE.EXC (n + 1)p पर इंटरपोलेट करता है। मिलान के लिए यहाँ वही तरीका चुनें।
IQR से आउटलायर कैसे पहचानें?
IQR = Q3 − Q1 निकालें। Q1 − 1.5 × IQR से नीचे या Q3 + 1.5 × IQR से ऊपर का कोई भी मान आउटलायर है (Tukey's rule)। ये मान बॉक्स प्लॉट पर गोलों के रूप में दिखते हैं।
वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य और माध्यिका कैसे निकालें?
हर वर्ग का मध्य-बिंदु x लें: माध्य = Σfx ÷ Σf। माध्यिका के लिए वह वर्ग ढूँढें जिसमें (n/2)वाँ मान है और माध्यिका = L + ((n/2 − CF) ÷ f) × h इस्तेमाल करें, जहाँ L उसकी निचली सीमा, CF उससे पहले की संचयी बारंबारता, f उसकी बारंबारता और h उसकी चौड़ाई है।
स्रोत
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — केंद्र और फैलाव के माप
- NIST/SEMATECH e-Handbook — डेटा में आउटलायर क्या हैं? (1.5 × IQR सीमाएँ)
- Hyndman & Fan (1996), Sample quantiles in statistical packages, The American Statistician 50(4)
- Microsoft Support — QUARTILE.INC और QUARTILE.EXC फ़ंक्शन
- NCERT गणित कक्षा 10, अध्याय 13 — सांख्यिकी (वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य, माध्यिका और बहुलक)
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