अलग-अलग हर वाली भिन्न कैसे जोड़ें?
- 1चुनें कि आप क्या करना चाहते हैं: हिसाब, सरल करना, बदलना या तुलना।
- 2हर भिन्न बॉक्स में लिखें — पूर्णांक, अंश और हर। साधारण भिन्न के लिए “पूर्णांक” ख़ाली छोड़ें; ऋणात्मक बनाने के लिए ± दबाएँ।
- 3भिन्नों के बीच +, −, × या ÷ चुनें, और ज़रूरत हो तो और भिन्न जोड़ें।
- 4जवाब सबसे सरल रूप, मिश्रित भिन्न और दशमलव में देखें, फिर नीचे कदम-दर-कदम हल देखें।
भिन्न के नियम: सामान्य हर, LCM और GCD
- 01a/b + c/d = (a × d′ + c × b′) / LCM(b, d), जहाँ d′ = LCM ÷ b और b′ = LCM ÷ d
- 02a/b × c/d = (a × c) / (b × d)
- 03a/b ÷ c/d = a/b × d/c
- 04सरल करना: अंश और हर दोनों को GCD(अंश, हर) से भाग दें
- 05LCM(b, d) = b × d ÷ GCD(b, d)
भिन्न जोड़ने या घटाने के लिए उनका हर एक जैसा होना चाहिए। कैलकुलेटर लघुत्तम सामान्य हर — यानी हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) — इस्तेमाल करता है, ताकि संख्याएँ जितनी हो सके छोटी रहें, हर भिन्न को उस हर के साथ दोबारा लिखता है, फिर अंशों को जोड़ता या घटाता है। गुणा आसान है: अंशों को आपस में और हरों को आपस में गुणा करें। भाग देने का मतलब है व्युत्क्रम (दूसरी भिन्न को उलटकर) से गुणा करना।
हर जवाब को अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD, जिसे HCF भी कहते हैं) से भाग देकर सबसे सरल रूप में लाया जाता है। GCD यूक्लिड विधि से निकलता है — भाग दें, शेषफल रखें, तब तक दोहराएँ जब तक शेषफल 0 न हो जाए — जो किसी भी साइज़ की संख्याओं के लिए काम करता है। कई संक्रियाओं में, संक्रियाओं के क्रम के अनुसार × और ÷ पहले होते हैं, फिर + और −।
दशमलव: भिन्न से लंबे भाग द्वारा दशमलव मिलता है, और क्योंकि संभव शेषफल गिने-चुने होते हैं, अंक या तो रुक जाते हैं या दोहराने लगते हैं। उलटी दिशा में, 0.1666… जैसे आवर्ती दशमलव को 10 और 100 से गुणा करके और घटाकर भिन्न बनाया जाता है, ताकि अंतहीन हिस्सा कट जाए: 90x = 15, x = 1/6। सारा हिसाब सटीक है (कोई राउंडिंग नहीं), किसी भी लंबाई की पूर्ण संख्याओं के साथ।
काम की बातें
- जाँच लें कि जवाब सरल है: अगर अंश और हर दोनों सम हैं, तो अभी सरल नहीं हुआ।
- भिन्न से भाग देने के लिए उसे उलटें और गुणा करें — 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2।
- 2 ⅓ जैसी मिश्रित भिन्न गुणा या भाग से पहले (2 × 3 + 1)/3 = 7/3 बन जाती है।
- सिर्फ़ 2 और 5 के गुणनखंडों वाले हर से ही रुकने वाला दशमलव मिलता है; बाक़ी कोई भी (जैसे 3 या 7) दोहराता है।
भिन्न — छात्रों के आम सवाल
अलग-अलग हर वाली भिन्न कैसे जोड़ें?
लघुत्तम सामान्य हर (हरों का LCM) निकालें, हर भिन्न को उसके साथ दोबारा लिखें, अंश जोड़ें और सरल करें। 1/4 + 1/6 के लिए: LCM(4, 6) = 12, इसलिए 3/12 + 2/12 = 5/12।
भिन्न को सरल कैसे करें?
अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक से भाग दें। 84/36 के लिए GCD 12 है, इसलिए 84/36 = 7/3, जो मिश्रित भिन्न में 2 ⅓ है।
भिन्नों का भाग कैसे करें?
पहली भिन्न वैसी ही रखें, ÷ को × में बदलें, और दूसरी भिन्न को उलट दें: 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 ⅞।
आवर्ती दशमलव को भिन्न में कैसे बदलें?
दशमलव को x मानें, 10 की किसी घात से गुणा करें ताकि दोहराने वाला हिस्सा सीध में आ जाए, और घटाएँ। 0.333… के लिए: 10x = 3.333…, इसलिए 9x = 3 और x = 1/3। यहाँ इसे 0.(3) या 0.333... लिखें।
मिश्रित भिन्नों का गुणा कैसे करें?
पहले हर मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलें, फिर अंशों और हरों को गुणा करें: 1 ½ × 2 ⅔ = 3/2 × 8/3 = 24/6 = 4।
कौन-सी भिन्न बड़ी है, 2/3 या 3/5?
उन्हें सामान्य हर दें: 2/3 = 10/15 और 3/5 = 9/15, इसलिए 2/3 बड़ी है। वज्र गुणन से भी यही जवाब आता है: 2 × 5 = 10, 3 × 3 = 9 से ज़्यादा है।
स्रोत
- Euclidean algorithm for the greatest common divisor (GCD के लिए यूक्लिड विधि)
- Khan Academy – Fractions (adding, subtracting, multiplying, dividing) (भिन्नों का जोड़, घटाव, गुणा, भाग)
- Repeating decimal – conversion to a fraction (आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलना)
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