समीकरण में x का मान कैसे निकालें?
- 1समीकरण का प्रकार चुनें — या x में कोई भी समीकरण सीधे लिखें।
- 2घात के लिए ^ के साथ लिखें (फ़ोन पर बटन मदद करते हैं), या गुणांक के बॉक्स भरें।
- 3सटीक जवाब, उसका दशमलव मान और ग्राफ़ देखें।
- 4कदम-दर-कदम हल देखकर समझें कि यह कैसे हल हुआ — और अपना होमवर्क जाँचें।
द्विघात सूत्र, विविक्तकर और क्रेमर का नियम
- 01रैखिक: ax + b = c → x = (c − b) / a
- 02द्विघात: ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
- 03विविक्तकर D = b² − 4ac: D > 0 दो वास्तविक मूल, D = 0 एक, D < 0 दो सम्मिश्र मूल
- 04y = ax² + bx + c का शीर्ष: x = −b / 2a
- 052 × 2 निकाय (क्रेमर): x = Dₓ / D, y = Dᵧ / D जहाँ D = a₁b₂ − a₂b₁
रैखिक समीकरण दोनों पक्षों पर एक जैसा काम करके हल होता है: ब्रैकेट खोलें, x वाले पद एक तरफ़ और संख्याएँ दूसरी तरफ़ ले जाएँ, फिर x के आगे की संख्या से भाग दें। जाँच के लिए जवाब को मूल समीकरण में वापस रखा जाता है।
द्विघात समीकरण को पहले पूर्ण संख्या वाले गुणांकों के साथ मानक रूप ax² + bx + c = 0 में लाया जाता है। विविक्तकर b² − 4ac तय करता है कि कितने वास्तविक मूल हैं; द्विघात सूत्र उन्हें सटीक रूप में देता है, वर्गमूल सरल करके (√48 = 4√3) और सम्मिश्र मूल i के साथ लिखकर। जब मूल भिन्न हों, तो समीकरण के गुणनखंड भी किए जाते हैं। त्रिघात और ऊँची घात के लिए परिमेय मूल परीक्षण भिन्न वाले मूल ढूँढता है, संश्लेषित विभाजन उन्हें हटाता है, और जो बचता है उसे द्विघात की तरह हल किया जाता है — या अगर गुणनखंड न बनें तो संख्यात्मक तरीक़े से।
दो समीकरणों के निकाय विलोपन विधि से हल होते हैं — समीकरणों को गुणा करें ताकि एक अज्ञात कट जाए, हल करें, फिर वापस रखें — और क्रेमर के नियम से जाँचे जाते हैं। तीन समीकरणों के लिए संवर्धित मैट्रिक्स पर गॉस–जॉर्डन पंक्ति संक्रियाएँ इस्तेमाल होती हैं। अगर समीकरण एक-दूसरे के उलट हों तो कोई हल नहीं होता; अगर वे एक ही बात कहें तो अनगिनत हल होते हैं, जो एक स्वतंत्र अक्षर t के साथ लिखे जाते हैं। सारा हिसाब किसी भी साइज़ के भिन्नों के साथ सटीक होता है।
काम की बातें
- घात ^ के साथ लिखें — x² के लिए x^2 — या x² बटन इस्तेमाल करें; 2x का मतलब 2 × x है।
- ब्रैकेट मायने रखते हैं: 3(x − 2) में अंदर के दोनों पदों को 3 से गुणा होता है।
- अगर विविक्तकर पूर्ण वर्ग है (जैसे 49), तो द्विघात के गुणनखंड आसानी से बन जाते हैं।
- शाब्दिक सवालों में हर तथ्य के लिए एक समीकरण लिखें, फिर 2 या 3 समीकरण वाला मोड इस्तेमाल करें।
समीकरण हल करना — छात्रों के आम सवाल
द्विघात समीकरण कैसे हल करें?
इसे ax² + bx + c = 0 के रूप में लाएँ, विविक्तकर D = b² − 4ac निकालें, फिर x = (−b ± √D) / 2a इस्तेमाल करें। 2x² − 3x − 5 = 0 के लिए: D = 9 + 40 = 49, इसलिए x = (3 ± 7) / 4, यानी x = 5/2 या x = −1।
विविक्तकर से क्या पता चलता है?
अगर b² − 4ac धनात्मक है तो दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, शून्य है तो एक दोहराया गया मूल, और ऋणात्मक है तो कोई वास्तविक मूल नहीं — मूल सम्मिश्र संख्याएँ हैं और परवलय x-अक्ष को नहीं काटता।
दो अज्ञात वाले दो समीकरण कैसे हल करें?
समीकरणों को गुणा करके एक अज्ञात के गुणांक बराबर करें, उसे काटने के लिए जोड़ें या घटाएँ, दूसरे अज्ञात के लिए हल करें, फिर वापस रखें। 2x + 3y = 7 और x − y = 1 के लिए: दूसरे को दोगुना करें, घटाएँ, 5y = 5, इसलिए y = 1 और x = 2।
समीकरणों के निकाय का कोई हल कब नहीं होता?
जब समीकरण एक-दूसरे के उलट हों — दो अज्ञात के लिए, जब रेखाएँ समांतर हों, जैसे x + y = 2 और 2x + 2y = 5। अगर एक समीकरण दूसरे का सिर्फ़ गुणज है, तो वे एक ही रेखा हैं और अनगिनत हल हैं।
क्या यह दशमलव की जगह सटीक जवाब दे सकता है?
हाँ। जवाब भिन्न और सरल किए गए वर्गमूल में आते हैं, जैसे (3 + √41)/4 या 2 ± √3, और उनके पास दशमलव मान भी।
त्रिघात समीकरण कैसे हल करें?
परिमेय मूल परीक्षण से कोई आसान मूल ढूँढें (अचर पद के गुणनखंड ÷ पहले गुणांक के गुणनखंड आज़माएँ), संश्लेषित विभाजन से उसे भाग देकर हटाएँ, और बचे हुए द्विघात को हल करें। x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 के मूल 1, 2 और 3 हैं।
स्रोत
- Quadratic formula and discriminant (द्विघात सूत्र और विविक्तकर)
- Rational root theorem (परिमेय मूल प्रमेय)
- Cramer's rule (क्रेमर का नियम)
- Khan Academy – Solving equations and systems of equations (समीकरण और निकाय हल करना)
फ़ॉर्मूले की पिछली जाँच: 30 सितंबर 2026 ·हम फ़ॉर्मूले कैसे जाँचते हैं