मैट्रिक्स का व्युत्क्रम कैसे निकालें?
- 1संक्रिया चुनें — सारणिक, व्युत्क्रम, A × B, RREF वग़ैरह।
- 2पंक्तियों और स्तंभों की संख्या चुनें और संख्याएँ डालें (1/2 जैसी भिन्न चलेंगी; ख़ाली बॉक्स 0 हैं)।
- 3जवाब सटीक भिन्न में देखें — या एक टिक से दशमलव में।
- 4कदम-दर-कदम हल देखें: छोटे सारणिक के लिए सहखंड, बाक़ी के लिए पंक्ति संक्रियाएँ।
सारणिक, व्युत्क्रम और पंक्ति संक्रियाएँ — नियम
- 012 × 2: det |a b; c d| = ad − bc, A⁻¹ = (1/det) |d −b; −c a|
- 023 × 3: det A = a₁₁M₁₁ − a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃ (सहखंड प्रसार)
- 03व्युत्क्रम: [A | I] → [I | A⁻¹] पंक्ति संक्रियाओं से (गॉस–जॉर्डन)
- 04(AB)ᵢⱼ = A की पंक्ति i · B का स्तंभ j
- 05rank A = RREF(A) में पिवट (शून्येतर पंक्तियों) की संख्या
छोटे सारणिक सहखंड प्रसार से निकाले जाते हैं — वही तरीक़ा जो स्कूल में सिखाया जाता है: 3 × 3 मैट्रिक्स में पहली पंक्ति की हर प्रविष्टि उस 2 × 2 सारणिक से गुणा होती है जो उसकी पंक्ति और स्तंभ काटने के बाद बचता है, चिह्न + − + के साथ। बड़े सारणिक पंक्ति संक्रियाओं से निकलते हैं: पंक्तियों के गुणज घटाने से सारणिक नहीं बदलता, पंक्तियाँ बदलने से उसका चिह्न उलट जाता है, और त्रिभुजाकार मैट्रिक्स का सारणिक उसके विकर्ण का गुणनफल होता है।
व्युत्क्रम गॉस–जॉर्डन विलोपन से आता है: A के बगल में तत्समक मैट्रिक्स लिखें और पंक्ति संक्रियाएँ (पंक्तियाँ बदलना, किसी पंक्ति को संख्या से गुणा करना, किसी पंक्ति का गुणज दूसरी में जोड़ना) तब तक करें जब तक बायाँ हिस्सा तत्समक न बन जाए — तब दायाँ हिस्सा A⁻¹ होता है। अगर शून्यों की पूरी पंक्ति आ जाए, तो सारणिक 0 है और कोई व्युत्क्रम नहीं। यही पंक्ति संक्रियाएँ पंक्ति सोपानक रूप, रैंक और Ax = b का हल (एक, कोई नहीं या अनगिनत) देती हैं।
सारा हिसाब किसी भी साइज़ की पूर्ण संख्याओं वाली सटीक भिन्नों में होता है, इसलिए किसी भी कदम पर राउंडिंग नहीं — यह काम का है क्योंकि Hilbert मैट्रिक्स जैसे मैट्रिक्स आम दशमलव में ग़लत नतीजे देने के लिए मशहूर हैं। वही जवाब 8 सार्थक अंकों तक राउंड करके देखने के लिए “दशमलव दिखाएँ” पर टिक करें।
काम की बातें
- सिर्फ़ वर्ग मैट्रिक्स का ही सारणिक या व्युत्क्रम होता है।
- अगर det A = 0 है, तो मैट्रिक्स का कोई व्युत्क्रम नहीं, और Ax = b का या तो कोई हल नहीं या अनगिनत हल हैं।
- A × B आमतौर पर B × A के बराबर नहीं होता — क्रम मायने रखता है।
- व्युत्क्रम जाँचने के लिए A को A⁻¹ से गुणा करें: आपको तत्समक मैट्रिक्स मिलना चाहिए।
मैट्रिक्स — छात्रों के आम सवाल
3 × 3 मैट्रिक्स का सारणिक कैसे निकालें?
पहली पंक्ति के साथ प्रसार करें: a₁₁ गुणा उसकी पंक्ति और स्तंभ काटने के बाद बचा 2 × 2 सारणिक, माइनस a₁₂ गुणा उसका 2 × 2 सारणिक, प्लस a₁₃ गुणा उसका 2 × 2 सारणिक। |6 1 1; 4 −2 5; 2 8 7| के लिए यह 6(−54) − 1(18) + 1(36) = −306 है।
मैट्रिक्स का व्युत्क्रम कैसे निकालें?
2 × 2 के लिए: a और d की जगह बदलें, b और c के चिह्न बदलें, और ad − bc से भाग दें। बड़े मैट्रिक्स के लिए [A | I] लिखें और पंक्ति संक्रियाएँ तब तक करें जब तक बायाँ हिस्सा I न बन जाए; दायाँ हिस्सा A⁻¹ है।
किसी मैट्रिक्स का व्युत्क्रम कब नहीं होता?
जब उसका सारणिक 0 हो। तब मैट्रिक्स को अव्युत्क्रमणीय (singular) कहते हैं: उसकी पंक्तियाँ (या स्तंभ) एक-दूसरे पर निर्भर होती हैं, जैसे एक पंक्ति दूसरी का गुणज हो।
दो मैट्रिक्स का गुणा कैसे करें?
AB की हर प्रविष्टि A की एक पंक्ति गुणा B का एक स्तंभ है: मेल खाती प्रविष्टियाँ गुणा करें और जोड़ें। यह तभी होता है जब A में उतने स्तंभ हों जितनी B में पंक्तियाँ; 2 × 3 गुणा 3 × 2 से 2 × 2 मिलता है।
मैट्रिक्स की रैंक क्या है?
स्वतंत्र पंक्तियों की संख्या — व्यवहार में, पंक्ति संक्रियाओं से सरल करने के बाद शून्येतर पंक्तियों (पिवट) की संख्या। 3 × 3 मैट्रिक्स 1 2 3 / 4 5 6 / 7 8 9 की रैंक 2 है।
पंक्ति सोपानक रूप (RREF) क्या है?
वह रूप जिसमें हर शून्येतर पंक्ति 1 (पिवट) से शुरू होती है, हर पिवट ऊपर वाले पिवट के दाईं ओर होता है, और पिवट के स्तंभ की बाक़ी हर प्रविष्टि 0 होती है। गॉस–जॉर्डन विलोपन यही रूप देता है।
स्रोत
- Gaussian elimination and reduced row echelon form (गॉस विलोपन और पंक्ति सोपानक रूप)
- Laplace (cofactor) expansion of the determinant (सारणिक का सहखंड प्रसार)
- Khan Academy – Matrices (मैट्रिक्स)
- Hilbert matrix (कैलकुलेटर जाँचने के लिए इस्तेमाल किया गया सटीक व्युत्क्रम)
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