میٹرکس کا معکوس کیسے نکالیں؟
- 1عمل منتخب کریں — ڈیٹرمیننٹ، معکوس، A × B، RREF وغیرہ۔
- 2قطاروں اور کالموں کی تعداد مقرر کریں اور اعداد لکھیں (1/2 جیسی کسریں ٹھیک ہیں؛ خالی خانے 0 ہیں)۔
- 3جواب درست کسروں میں دیکھیں — یا ایک ٹک سے اعشاریہ میں۔
- 4قدم بہ قدم حل دیکھیں: چھوٹے ڈیٹرمیننٹ کے لیے cofactors، باقی کے لیے قطاری عمل۔
ڈیٹرمیننٹ، معکوس اور قطاری عمل — اصول
- 012 × 2: det |a b; c d| = ad − bc، A⁻¹ = (1/det) |d −b; −c a|
- 023 × 3: det A = a₁₁M₁₁ − a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃ (cofactor expansion)
- 03معکوس: [A | I] → [I | A⁻¹] قطاری عمل سے (Gauss–Jordan)
- 04(AB)ᵢⱼ = A کی قطار i · B کا کالم j
- 05rank A = RREF(A) میں pivots (غیر صفر قطاروں) کی تعداد
چھوٹے ڈیٹرمیننٹ cofactor expansion سے نکالے جاتے ہیں — وہی طریقہ جو اسکول میں پڑھایا جاتا ہے: 3 × 3 میٹرکس میں پہلی قطار کا ہر اندراج اس 2 × 2 ڈیٹرمیننٹ سے ضرب ہوتا ہے جو اس کی قطار اور کالم کاٹنے کے بعد بچتا ہے، علامتوں + − + کے ساتھ۔ بڑے ڈیٹرمیننٹ کے لیے قطاری عمل استعمال ہوتا ہے: قطاروں کے ضعف تفریق کرنے سے ڈیٹرمیننٹ نہیں بدلتا، قطاروں کا تبادلہ اس کی علامت الٹ دیتا ہے، اور مثلثی میٹرکس کا ڈیٹرمیننٹ اس کے وتر کے اعداد کا حاصل ضرب ہوتا ہے۔
معکوس Gauss–Jordan elimination سے نکلتا ہے: A کو اکائی میٹرکس کے ساتھ لکھیں اور قطاری عمل کریں (قطاریں بدلنا، کسی قطار کو عدد سے ضرب دینا، ایک قطار کا ضعف دوسری میں جمع کرنا) جب تک بائیں طرف اکائی میٹرکس نہ بن جائے — تب دائیں طرف A⁻¹ ہوتا ہے۔ اگر صفروں کی قطار آ جائے تو ڈیٹرمیننٹ 0 ہے اور کوئی معکوس نہیں۔ یہی قطاری عمل reduced row echelon form، رینک اور Ax = b کا حل (ایک، کوئی نہیں یا لامحدود) بھی دیتے ہیں۔
تمام حساب کسی بھی سائز کے پورے اعداد والی درست کسروں میں ہوتا ہے، اس لیے کسی قدم پر راؤنڈنگ نہیں — یہ اس لیے کام کا ہے کہ Hilbert میٹرکس جیسے میٹرکس عام اعشاریہ کے ساتھ غلط جواب دینے کے لیے مشہور ہیں۔ یہی جواب 8 بامعنی ہندسوں تک راؤنڈ کر کے دیکھنے کے لیے “اعشاریہ دکھائیں” پر ٹک کریں۔
کام کی باتیں
- صرف مربع میٹرکس کا ڈیٹرمیننٹ یا معکوس ہوتا ہے۔
- اگر det A = 0 ہو تو میٹرکس کا معکوس نہیں، اور Ax = b کا یا تو کوئی حل نہیں یا لامحدود حل ہیں۔
- A × B عموماً B × A کے برابر نہیں ہوتا — ترتیب اہم ہے۔
- معکوس جانچنے کے لیے A کو A⁻¹ سے ضرب دیں: اکائی میٹرکس آنا چاہیے۔
میٹرکس — طلبہ کے سوالات
3 × 3 میٹرکس کا ڈیٹرمیننٹ کیسے نکالیں؟
پہلی قطار کے ساتھ پھیلائیں: a₁₁ ضرب وہ 2 × 2 ڈیٹرمیننٹ جو اس کی قطار اور کالم کاٹنے کے بعد بچے، منفی a₁₂ ضرب اس کا 2 × 2 ڈیٹرمیننٹ، جمع a₁₃ ضرب اس کا 2 × 2 ڈیٹرمیننٹ۔ |6 1 1; 4 −2 5; 2 8 7| کے لیے یہ 6(−54) − 1(18) + 1(36) = −306 ہے۔
میٹرکس کا معکوس کیسے نکالیں؟
2 × 2 کے لیے: a اور d کی جگہ بدلیں، b اور c کی علامت بدلیں، اور ad − bc سے تقسیم کریں۔ بڑے میٹرکس کے لیے [A | I] لکھیں اور قطاری عمل کریں جب تک بائیں طرف I نہ بن جائے؛ دائیں طرف A⁻¹ ہوگا۔
میٹرکس کا معکوس کب نہیں ہوتا؟
جب اس کا ڈیٹرمیننٹ 0 ہو۔ تب میٹرکس singular کہلاتا ہے: اس کی قطاریں (یا کالم) ایک دوسرے پر منحصر ہوتی ہیں، مثلاً ایک قطار دوسری کا ضعف ہو۔
دو میٹرکس کی ضرب کیسے کریں؟
AB کا ہر اندراج A کی ایک قطار ضرب B کا ایک کالم ہے: ملتے جلتے اندراجات ضرب دیں اور جمع کریں۔ یہ تبھی ممکن ہے جب A کے کالم B کی قطاروں کے برابر ہوں؛ 2 × 3 ضرب 3 × 2 سے 2 × 2 بنتا ہے۔
میٹرکس کا رینک کیا ہے؟
آزاد قطاروں کی تعداد — عملی طور پر قطاری عمل کے بعد غیر صفر قطاروں (pivots) کی تعداد۔ 3 × 3 میٹرکس 1 2 3 / 4 5 6 / 7 8 9 کا رینک 2 ہے۔
Reduced row echelon form (RREF) کیا ہے؟
وہ شکل جس میں ہر غیر صفر قطار 1 (pivot) سے شروع ہوتی ہے، ہر pivot اوپر والے سے دائیں طرف ہوتا ہے، اور pivot کے کالم کا ہر دوسرا اندراج 0 ہوتا ہے۔ Gauss–Jordan elimination یہی شکل دیتا ہے۔
ذرائع
- Gaussian elimination اور reduced row echelon form
- ڈیٹرمیننٹ کی Laplace (cofactor) expansion
- Khan Academy – میٹرکس
- Hilbert میٹرکس (کیلکولیٹر جانچنے کے لیے استعمال ہونے والا درست معکوس)
فارمولوں کی آخری جانچ: 30 ستمبر، 2026 ·ہم اپنے فارمولے کیسے چیک کرتے ہیں