x کے لیے مساوات کیسے حل کریں؟
- 1مساوات کی قسم منتخب کریں — یا x میں کوئی بھی مساوات سیدھی لکھ دیں۔
- 2طاقت کے لیے ^ کے ساتھ لکھیں (فون پر بٹن مدد کرتے ہیں)، یا سر کے خانے بھریں۔
- 3درست جواب، اس کی اعشاری قیمت اور گراف دیکھیں۔
- 4قدم بہ قدم حل دیکھیں کہ یہ کیسے حل ہوتی ہے — اور اپنا ہوم ورک بھی چیک کریں۔
دو درجی فارمولا، ممیز اور کریمر کا قاعدہ
- 01یک درجی: ax + b = c → x = (c − b) / a
- 02دو درجی: ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
- 03ممیز D = b² − 4ac: D > 0 دو حقیقی جذور، D = 0 ایک، D < 0 دو مخلوط جذور
- 04y = ax² + bx + c کا راس: x = −b / 2a
- 052 × 2 نظام (کریمر): x = Dₓ / D، y = Dᵧ / D جہاں D = a₁b₂ − a₂b₁
یک درجی مساوات دونوں طرف ایک ہی عمل کر کے حل ہوتی ہے: بریکٹ کھولیں، x والی رقمیں ایک طرف اور اعداد دوسری طرف لے جائیں، پھر x کے ساتھ والے عدد سے تقسیم کریں۔ جانچ کے لیے جواب کو اصل مساوات میں واپس رکھا جاتا ہے۔
دو درجی مساوات کو پہلے پورے اعداد والے سروں کے ساتھ معیاری شکل ax² + bx + c = 0 میں لایا جاتا ہے۔ ممیز b² − 4ac طے کرتا ہے کہ کتنے حقیقی جذور ہیں؛ دو درجی فارمولا انہیں بالکل درست دیتا ہے، جذر المربع سادہ کر کے (√48 = 4√3) اور مخلوط جذور i کے ساتھ لکھ کر۔ جب جذور کسریں ہوں تو مساوات کے اجزائے ضربی بھی بنائے جاتے ہیں۔ تین درجی اور اونچی مساواتوں میں ناطق جذر کی جانچ کسری جذور ڈھونڈتی ہے، synthetic division انہیں نکالتی ہے، اور جو بچتا ہے وہ دو درجی کی طرح حل ہوتا ہے — یا اگر اجزائے ضربی نہ بنیں تو عددی طریقے سے۔
دو مساواتوں کے نظام حذف (elimination) سے حل ہوتے ہیں — مساواتوں کو ضرب دیں تاکہ ایک نامعلوم کٹ جائے، حل کریں، پھر واپس رکھیں — اور کریمر کے قاعدے سے جانچے جاتے ہیں۔ تین مساواتوں کے لیے augmented میٹرکس پر Gauss–Jordan قطاری عمل استعمال ہوتے ہیں۔ اگر مساواتیں ایک دوسرے کے خلاف ہوں تو کوئی حل نہیں؛ اگر وہ ایک ہی بات کہیں تو لامحدود حل ہیں، جو آزاد حرف t کے ساتھ لکھے جاتے ہیں۔ تمام حساب کسی بھی سائز کی کسروں کے ساتھ بالکل درست ہوتا ہے۔
کام کی باتیں
- طاقت ^ سے لکھیں — x² کے لیے x^2 — یا x² بٹن استعمال کریں؛ 2x کا مطلب ہے 2 × x۔
- بریکٹ اہم ہیں: 3(x − 2) میں اندر کی دونوں رقموں کو 3 سے ضرب ملتی ہے۔
- اگر ممیز مکمل مربع ہو (جیسے 49) تو دو درجی مساوات کے اجزائے ضربی آسانی سے بن جاتے ہیں۔
- عبارتی سوالات میں ہر بات کے لیے ایک مساوات لکھیں، پھر 2 یا 3 مساواتوں والا موڈ استعمال کریں۔
مساوات حل کرنا — طلبہ کے سوالات
دو درجی مساوات کیسے حل کریں؟
اسے ax² + bx + c = 0 کی شکل میں لائیں، ممیز D = b² − 4ac نکالیں، پھر x = (−b ± √D) / 2a استعمال کریں۔ 2x² − 3x − 5 = 0 کے لیے: D = 9 + 40 = 49، لہٰذا x = (3 ± 7) / 4، یعنی x = 5/2 یا x = −1۔
ممیز کیا بتاتا ہے؟
اگر b² − 4ac مثبت ہو تو دو مختلف حقیقی جذور ہیں، صفر ہو تو ایک دہرایا ہوا جذر، اور منفی ہو تو کوئی حقیقی جذر نہیں — جذور مخلوط اعداد ہیں اور پیرابولا x-محور کو نہیں کاٹتا۔
دو نامعلوم والی دو مساواتیں کیسے حل کریں؟
مساواتوں کو ضرب دے کر ایک نامعلوم کے سر برابر کریں، جمع یا تفریق کریں تاکہ وہ کٹ جائے، دوسرا نامعلوم معلوم کریں، پھر واپس رکھیں۔ 2x + 3y = 7 اور x − y = 1 کے لیے: دوسری کو دگنا کریں، تفریق کریں، 5y = 5، لہٰذا y = 1 اور x = 2۔
مساواتوں کے نظام کا حل کب نہیں ہوتا؟
جب مساواتیں ایک دوسرے کے خلاف ہوں — دو نامعلوم میں جب لکیریں متوازی ہوں، جیسے x + y = 2 اور 2x + 2y = 5۔ اگر ایک مساوات دوسری کا صرف ضعف ہو تو دونوں ایک ہی لکیر ہیں اور لامحدود حل ہیں۔
کیا یہ اعشاریہ کے بجائے درست جواب دے سکتا ہے؟
جی ہاں۔ جواب کسروں اور سادہ کیے گئے جذر المربع میں آتے ہیں، جیسے (3 + √41)/4 یا 2 ± √3، اور ساتھ اعشاری قیمت بھی۔
تین درجی مساوات کیسے حل کریں؟
ناطق جذر کی جانچ سے کوئی سادہ جذر ڈھونڈیں (مستقل رقم کے اجزا کو پہلے سر کے اجزا پر تقسیم کر کے آزمائیں)، synthetic division سے اسے نکالیں، اور جو دو درجی مساوات بچے اسے حل کریں۔ x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 کے جذور 1، 2 اور 3 ہیں۔
ذرائع
- دو درجی فارمولا اور ممیز
- ناطق جذر کا مسئلہ (Rational root theorem)
- کریمر کا قاعدہ (Cramer's rule)
- Khan Academy – مساواتیں اور مساواتوں کے نظام حل کرنا
فارمولوں کی آخری جانچ: 30 ستمبر، 2026 ·ہم اپنے فارمولے کیسے چیک کرتے ہیں